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Fiche Compétences Equipe

Analyse fonctionnelle

Domaines : Numérique et nouvelles technologies
Ref. Fiche : EQC1010

Domaines d'expertise

L’analyse fonctionnelle est la branche des mathématiques qui étudie les espaces de fonctions. Il s’agit d’ensembles (par exemple, l’ensemble des fonctions continues) munis d’une structure. Cette structure est liée à l’existence d’opérations (addition, multiplication…) et de notions de distance entre les fonctions.

Une partie des recherches de l’équipe Analyse fonctionnelle du LMB porte sur la théorie des opérateurs et l’étude des espaces d’opérateurs. Sur ces espaces la multiplication n’est pas commutative, ce sont des algèbres non commutatives. Certains chercheurs de l’équipe s’intéressent à ces algèbres non commutatives, concepts issus de la mécanique quantique. On parle alors d’espace « quantique » (ou « non commutatif »). Beaucoup de notions de la géométrie, de l’analyse et des probabilités peuvent être généralisées à ces espaces quantiques.

Un autre thème de recherche de l’équipe consiste à représenter des espaces qui ont très peu de structure, par exemple juste une distance (espaces métriques), à l’intérieur d’un espace qui en possède davantage (comme un espace euclidien). Si ce plongement conserve les distances, cela offre des perspectives intéressantes. Par exemple, l’ensemble des mots peut être considéré comme un espace muni d’une distance définie par la proximité des suites de lettres. Il n’est pas possible de multiplier ni d’additionner des mots, mais si on peut plonger cet ensemble dans un espace où ces opérations existent, on réduit la quantité d’informations de façon à travailler à partir des coordonnées des mots dans l’espace. 

Axes de recherche

  • Espaces d’opérateurs
  • Algèbres d’opérateurs
  • Analyse harmonique et probabilités non commutatives
  • Géométrie non linéaire des espaces de Banach
  • Calcul fonctionnel et semigroupes

Exemples de Réalisations

  • Ramón Aliaga, Camille Noûs, Colin Petitjean, Antonín Procházka, Compact reduction in Lipschitz-free spaces, Studia Math. 260(3), 341–359 (2021), https://dx.doi.org/10.4064/sm200925-18-1
  • Cédric Arhancet, Stephan Fackler, Christian Le Merdy, Isometric dilations and H∞ calculus for bounded analytic semigroups and Ritt operators, Trans. Amer. Math. Soc. 369, no. 10, 6899–6933 (2017), https://doi.org/10.1090/tran/6849
  • Florent Baudier, Gilles Lancien, Thomas Schlumprecht, The coarse geometry of Tsirelson's space and applications. J. Amer. Math. Soc. 31 (2018), no. 3, 699–717, https://doi.org/10.1090/jams/899
  • Jean-Christophe Bourin, Eun-Yeong Lee, Unitary orbits of Hermitian operators with convex or concave functions, Bull. London Math. Soc. 44(6), 1085-1102 (2012), https://doi.org/10.1112/blms/bds080
  • Uwe Franz, Takahiro Hasebe, Sebastian Schleißinger, Monotone increment processes, classical Markov processes, and Loewner chains, Diss. Math. 552, 1-119 (2020), https://doi.org/10.4064/dm808-1-2020
  • Yulia Kuznetsova, Duals of quantum semigroups with involution, Adv. Oper. Theory 5(1), 167-203 (2020), https://doi.org/10.1007/s43036-019-00011-2
  • Xia Xiong, Quanhua Xu, Zhi Yin, Sobolev, Besov and Triebel-Lizorkin spaces on quantum tori, Memoirs Amer. Math. Soc. 1203, 122 p. (2018), https://doi.org/10.1090/memo/1203

En complèment

Mots-clés complémentaires : espaces métriques, plongements de graphes métriques et structure asymptotique des espaces de Banach, inégalités matricielles, décompositions matricielles, analyse harmonique noncommutative, semigroupes quantiques, groupes quantiques compacts, processus de Lévy quantiques